Question

【题目】已知函数，.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）设的极小值为，当时，求证：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的单调递增区间为和，无单调递减区间；（Ⅱ）见解析.

【解析】

（Ⅰ）对求导可得，设，对求导，判断的符号，进而可得的单调性；（Ⅱ）对进行求导，可得的极小值，对求导，易证，在将等价转化为，令，对其求导求其最值即可.

（Ⅰ）因为（且），所以.

设，则.

当时，，是增函数，，所以.

故在上为增函数；

当时，，是减函数，，所以，所以在上为增函数.

故的单调递增区间为和，无单调递减区间.

（Ⅱ）由已知可得，则.令，得，.

当时，，为减函数；

当时，，为增函数，

所以的极小值.

由，得.

当时，，为增函数；

当时，，为减函数.

所以.

而 .

下证：时，.

.

令，则.

当时，，为减函数；

当时，，为增函数.

所以，即.

所以，即.所以.

综上所述，要证的不等式成立.