Question

【题目】设函数 ，若函数 在x=1处与直线 相切．
（Ⅰ）求实数a,b的值；
（Ⅱ）求函数 在 上的最大值．

Answer 1

【答案】解：(I)f′(x)＝ －2bx ， ∵函数f(x)在x＝1处与直线y＝－ 相切，
∴ 解得
(Ⅱ)由(1)知，f(x)＝lnx－ x2 ， f′(x)＝ －x＝ ，
当 ≤x≤e时，令f′(x)>0，得 ≤x<1，
令f′(x)<0，得1<x≤e， ∴f(x)在[ ，1)上是增加的，
在(1，e]上是减少的， ∴f(x)max＝f(1)＝－ .
【解析】本题主要考查导数的几何意义，切线方程以及导数展示单调性中的应用。（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，根据函数在x=1处于直线相切，列出方程组求解即可。（2）求出函数的导数，根据导数的不等式及性质，判断函数的单调性，进而求出函数在闭区间上的最值。
【考点精析】关于本题考查的导数的几何意义和函数的最大(小)值与导数，需要了解通过图像,我们可以看出当点趋近于时，直线与曲线相切．容易知道，割线的斜率是，当点趋近于时，函数在处的导数就是切线PT的斜率k，即；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．