Question

已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如下表． x -1 0 2 4 5 f（x） 1 2 0 2 1 f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．下列关于函数f（x）的命题： ①函数f（x）在[0，1]上是减函数； ②如果当x∈[-1，t]时，f（x）最大值是2，那么t的最大值为4； ③函数y=f（x）-a有4个零点，则1≤a＜2； ④若f（x）在[-1，5]上的极小值为-2，且 y=t与f（x）有两个交点，则-2＜t＜1． 其中真命题的个数是（　　）

A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

Answer 1

分析：由函数f（x）的导函数图象可知：函数f（x）在区间[-1，0]上单调递增，在区间[0，1]上单调递减，在区间[1，4]上单调递增，在区间[4，5]上单调递减．
再利用函数y=f（x）的对应值表格得出函数f（x）的大致图象：
即可判断出答案．

解答：解：由函数f（x）的导函数图象可知：函数f（x）在区间[-1，0]上单调递增，在区间[0，1]上单调递减，在区间[1，4]上单调递增，在区间[4，5]上单调递减．
再利用函数y=f（x）的对应值表格得出函数f（x）的大致图象：
①由函数f（x）的图象可知：当x∈[0，1]时，函数f（x）在[0，1]上是减函数，正确；
②由导函数和函数f（x）的图象可知：当x=0和x=4时，函数f（x）都取得极大值2，因此当x∈[-1，t]时，f（x）最大值是2，那么t的最大值可为5．故不正确；
③由函数y=f（x）的图象可知：若函数y=f（x）-a有4个零点，则1≤a＜2，正确；
④若f（x）在[-1，5]上的极小值为-2，由函数y=f（x）的图象可知：f（-1）=-2．若满足 y=t与f（x）有两个交点，则-2＜t＜1．或t=2．因此不正确．
综上可知：只有①③正确．
故选C．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、函数的零点等是解题的关键．