Question

（如图1）在平面四边形中，为中点，，，且，现沿折起使，得到立体图形（如图2），又B为平面ADC内一点，并且ABCD为正方形，设F，G，H分别为PB，EB，PC的中点.

（1）求三棱锥的体积；

（2）在线段PC上是否存在一点M，使直线与直线所成角为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）存在，.

【解析】

试题分析：本题考查空间两条直线的位置关系、异面直线所成的角、直线与平面垂直和平行等基础知识，考查用空间向量解决立体几何中的问题，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.第一问，先用三角形中位线，证，所以利用线面平行的判定定理，得出平面，同理：平面，把与的夹角转化为与的夹角，利用面面平行，转化到平面的距离为到平面的距离，易得出距离为1，最后求转化后的；第二问，由已知建立空间直角坐标系，写出各点坐标，用反证法，先假设存在，假设，求出向量和坐标，用假设成立的角度，列出夹角公式，解出，如果有解即存在，否则不存在，并可以求出的坐标及.

试题解析：（1）因为分别为的中点，所以.又平面，平面，所以平面，同理：平面.

且，.

∴与的夹角等于与的夹角（设为）

易求.     4分

∵平面平面，∴到平面的距离即到平面的距离，过作的垂线，垂足为，则为到平面的距离.

.

（2）因为平面，，所以平面，所以.又因为四边形是正方形，所以.

如图，建立空间直角坐标系，因为，

所以，

假设在线段存在一点使直线与直线所成角为.

依题意可设，其中.由，则.

由因为，,所以，

因为直线与直线所成角为，，

所以，即，

解得，所以，.

所以在线段存在一点，使直线与直线所成角为，此时.

考点：1.线面平行的判定定理；2.线面垂直的判定定理；3.空间向量法；4.夹角公式；5.向量的加减法.