Question

如图1，在平行四边形中，，，90°，是上的一个动点.现将该平行四边形沿对角线折成直二面角，如图2所示.

（1）若、分别是、的中点，且∥平面，求证：∥平面；

（2）当图1中+最小时，求图2中二面角的大小.

图1                       图2

Answer 1

（1）证明: ∵∥平面，平面∩平面,∴∥.       

       ∵是的中点.∴是中点.

       又∵是点.∴∥.

    ∵平面，∴∥平面.

   （2）解：由图1可知，当最小时，是的中点.

       ∵平面⊥平面，⊥，⊥平面.

       故以为坐标原点，平行于的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

则（0,0,1）,（1,,0）,（0,,0）,（0,,0）；

       （0,－－,0），（0,,0）.

       设平面的法向量为=（，，），则

                               

解得

       ∴平面ACE的一个法向量为

       而平面BCE的一个法向量为＝（0，0，1）.

       ∵，

       显然，二面角为锐角，

       ∴二面角的大小为60°.