Question

如图1，在平行四边形ABCD中，AB＝1，BD＝，∠ABD＝90°，E是BD上的一个动点，现将该平行四边形沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，如图2所示.

(1)若F、G分别是AD、BC的中点，且AB∥平面EFG，求证：CD∥平面EFG；

(2)当图1中AE＋EC最小时，求图2中二面角A－EC－B的大小.

 

Answer 1

【答案】

（1）只需证CD//EG；（2）60°。

【解析】

试题分析：(1)证明(略)       4分

(2)由图1可知，当AE＋EC最小时，E是BD的中点

∵平面ABD⊥平面BCD，AB⊥BD，∴AB⊥面BCD.

故以B为坐标原点，平行于CD的直线为x轴，

BD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，建立

如图所示空间直角坐标系B－xyz.

则A(0，0，1)，C(1，，0)，D(0，0)，E(0，，0)

＝(0，－，1)，＝(1，，0)

设平面AEC的一个法向量为n₁＝(x，y，z)

则 Þ 

解得x＝－z，y＝z

∴平面AEC的一个法向量为n₁＝(－1，，1)

而平面BCE的一个法向量为n₂＝(0，0，1)

∴cos<n₁，n₂> ＝      10'

显然，二面角A－EC－B为锐角，所以，二面角A－EC－B的大小为60°. 12分

考点：线面平行的性质定理；线面垂直的判定定理；二面角。

点评：二面角的求法是立体几何中的一个难点。我们解决此类问题常用的方法有两种：①综合法，综合法的一般步骤是：一作二说三求。②向量法，运用向量法求二面角应注意的是计算。很多同学都会应用向量法求二面角，但结果往往求不对，出现的问题就是计算错误。