Question

【题目】已知函数f（x）= ﹣2ax+1+lnx
（1）当a=0时，若函数f（x）在其图象上任意一点A处的切线斜率为k，求k的最小值，并求此时的切线方程；
（2）若函数f（x）的极大值点为x1 ， 证明：x1lnx1﹣ax12＞﹣1．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a=0，∴ ，

∴ ，当仅当 时，即x=1时，f'（x）的最小值为2，

∴斜率k的最小值为2，切点A ，

∴切线方程为 ，即4x﹣2y﹣1=0；

（2）解：∵ ，

①当﹣1≤a≤1时，f（x）单调递增无极值点，不符合题意；

②当a＞1或a＜﹣1时，令f'（x）=0，设x2﹣2ax+1=0的两根为x1和x2，

因为x1为函数f（x）的极大值点，所以0＜x1＜x2，

又x1x2=1，x1+x2=2a＞0，∴a＞1，0＜x1＜1，

∴f′（x1）=0， ，则 ，

∵ = = ，x1∈（0，1），

令 ，x∈（0，1），

∴ ，∴h′（x）=﹣3x+ = ，x∈（0，1），

当 时，h′（x）＞0，当 时，h′（x）＜0，

∴h′（x）在 上单调递增，在 上单调递减，

∴ ，

∴h（x）在（0，1）上单调递减．

∴h（x）＞h（1）=﹣1，原题得证．

【解析】（1）求得f（x）的导数，由基本不等式可得斜率的最小值，及切点，运用点斜式方程可得切线的方程；（2）求出f（x）的导数，讨论判别式的符号，设出二次方程的两根，运用韦达定理和构造函数 ，x∈（0，1），求出导数，求得单调区间和极值、最值，即可得证．
【考点精析】掌握函数的极值与导数是解答本题的根本，需要知道求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．