Question

已知正八面体的棱长为a.

（1）求相邻两面所成二面角的大小；

（2）求相邻两面中心的距离.

Answer 1

解析：（1）如图，分别取BE、CD的中点M、N，连结AM、AN、FM、FN、MN.

∵△ACD、△FCD均为全等的正三角形，

∴AN=NF=FM=MA.

故四边形AMFN为菱形，且CD⊥AN，CD⊥FN，故∠ANF是正八面体相邻两面所成二面角的平面角.

在菱形AMFN中，边长为a.

在正方形BCDE中，边长为a，连CE并设CE∩MN=O，则

AO=a，

∴AF=2AO=a，

cosANF=.

∴∠ANF=π-arccos.

（2）分别在AN、FN上取一点G₁、G₂，使NG₁=AN，NG₂=FN，则G₁、G₂分别是正三角形ACD和FCD的中心，连结G₁G₂.

则G₁G₂∥AF，故=,

得G₁G₂=a.