Question

已知正八面体的棱长为a.

(1)求相邻两面所成二面角的大小;

(2)求相邻两面中心的距离;

(3)求两个相对面之间的距离.

Answer 1

解:(1)如图所示,分别取BE,CD的中点M,N,连结AM,AN,FM,FN,MN.

因为△ACD,△FCD均为全等的正三角形,

所以AN=NF=FM=MA.

故四边形AMFN为菱形,且CD⊥AN,CD⊥FN,故∠ANF是正八面体相邻两面所成二面角的平面角.

在菱形AMFN中,边长为a.

在正方形BCDE中,边长为a,连结CE并设CE∩MN=O,则

AO=.

所以AF=2AO=a,

cos∠ANF=.

所以∠ANF=π-arccos.

(2)分别在AN,FN上取一点G₁,G₂,使NG₁=AN,NG₂=FN,则G₁,G₂分别是正三角形ACD和FCD的中心,连结G₁G₂.

则G₁G₂∥AF,故=,得G₁G₂=a.

(3)正八面体两相对面之间的距离就是菱形对边之间的距离.在菱形AMFN中,设AN与MF之间的距离为d,则MF·d=MF·AF.

而MF＝a,MN=a,AF=a,

由此可得d=a.