Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为2+

3

和2-

3

．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
（3）如图，过原点O任意作两条互相垂直的直线与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）交于P，S，R，Q四点，设原点O到四边形PQSR一边的距离为d，试求d=1时a，b满足的条件．

Answer 1

分析：（1）由椭圆的几何性质可得焦点到长轴的两个端点的距离分别为a+c和a-c，再把所给数值代入即可．
（2）斜率k的取值范围，须将k用其它参数表示，先设直线l的方程，代入椭圆方程，求x₁+x₂和x₁x₂，再根据∠AOB为锐角得到向量

OA

，

OB

的数量积大于0，用直线l的斜率k表示

OA

，

OB

的数量积，即可得到k的范围．
（3）先根据椭圆的对称性判断PQSR是菱形，原点O到各边的距离相等．设四边形PQSR的一条对角线的方程，根据菱形对角线互相垂直，可得另一条对角线的方程，分别与椭圆方程联立，再借助菱形各边长相等，即可得到a，b满足的条件．

解答：解：（1）由题意得

a+c=2+ 3 a-c=2- 3

，解得a=2，c=

3

，b=1
所求的方程为

x2

4

+y2=1
（2）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l：y=kx+2，A（x₁，y₁）
由

x2 4 +y2=1 y=kx+2

得（1+4k²）x²+16kx+12=0．
∵△=（16k）²-4×12（1+4k²）＞0，∴k∈（-∞，-

3

2

）∪（

3

2

，+∞）（1）
又x₁+x₂=

-16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

由0°＜∠AOE＜90°?

OA

•

OB

＞0∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2＞0
所以

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）
=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=

12(1+k2)

1+4k2

+2k

-16k

1+4k2

+4＞0
∴-2＜k＜2  （2）
由（1）（2）得：k∈（-2，-

3

2

）∪（

3

2

，2）．
（3）由椭圆的对称性可知PQSR是菱形，原点O到各边的距离相等．
当P在y轴上，Q在x轴上时，直线PQ的方程为

x

a

+

y

b

=1，由d=1得

1

a2

+

1

b2

=1，
当P不在y轴上时，设直线PS的斜率为k，P（x₁，kx₁），则直线RQ的斜率为-

1

k

，Q（x₂，-

1

k

x2）
由

y=kx x a2 + y b2 =1

，得

1

x12

=

1

a2

+

k2

b2

（1），同理

1

x22

=

1

a2

+

1

k2b2

（2）
在Rt△OPQ中，由

1

2

d|PQ|=

1

2

|OP||OQ|，即|PQ|²=|OP|²•|OQ|²
所以(x1-x2)2+(kx1+

x2

k

)2=[x12+(kx1)2][x22+(

x2

k

)2]，化简得

k2

x22

+ 

1

x12

=1+k2，
k²（

1

a2

+

1

k2b2

）+

1

a2

+

k2

b2

=1+k²，即

1

a2

+

1

b2

=1．
综上，d=1时a，b满足条件

1

a2

+

1

b2

=1

点评：本体考查了椭圆性质的应用，以及判断直线与椭圆位置关系时，韦达定理的应用．