Question

已知抛物线C₁、椭圆C₂和双曲线C₃在x轴上有共同的焦点，且三条曲线都经过点M（1，2），C₁的顶点为坐标原点，C₂、C₃的对称轴是坐标轴．
（1）求这三条曲线的方程
（2）已知动直线l过点P（3，0），交抛物线C₁于A、B两点，问是否存在垂直于x轴的直线l′，被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l′的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意，把点M（1，2）代入抛物线的方程，求得抛物线的方程和焦点坐标，再把点M（1，2），代入椭圆和双曲线的标准方程，即可求得结果；
（2）设AP的中点为C，l'的方程为：x=a，以AP为直径的圆交l'于D，E两点，DE中点为H，根据垂径定理即可得到方程=（a-2）x₁-a²+3a，探讨该式何时是定值．
解答：解：（1）设抛物线的方程y²=2px（p＞0），代入M（1，2）得p=2，C₁方程y²=4x（2分）
椭圆C₂和双曲线C₃焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），c=1
对于椭圆C₂：，，，
得C₂方程：（4分）
对于双曲线C₃：，，，
得C₃方程：（6分）
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），以AP为直径的圆的圆心为，
设存在符合条件的直线l′：x=n，圆心到l′的距离为，
所以l′被以AP为直径的圆截得的弦长为=，（10分）
当n=2时，即l′方程x=2，弦长为定值（12分）
点评：此题是个难题．本题考查了椭圆与双曲线抛物线的标准方程即简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题（2）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，