Question

已知抛物线C₁、椭圆C₂和双曲线C₃在x轴上有共同的焦点，且三条曲线都经过点M（1，2），C₁的顶点为坐标原点，C₂、C₃的对称轴是坐标轴．
（1）求这三条曲线的方程
（2）已知动直线l过点P（3，0），交抛物线C₁于A、B两点，问是否存在垂直于x轴的直线l′，被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l′的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意，把点M（1，2）代入抛物线的方程，求得抛物线的方程和焦点坐标，再把点M（1，2），代入椭圆和双曲线的标准方程，即可求得结果；
（2）设AP的中点为C，l'的方程为：x=a，以AP为直径的圆交l'于D，E两点，DE中点为H，根据垂径定理即可得到方程|DH|2=|DC|2-|CH|2=

1

4

[(x1-3)2+y12]-

1

4

[(x1-2a)+3]2=（a-2）x₁-a²+3a，探讨该式何时是定值．

解答：解：（1）设抛物线的方程y²=2px（p＞0），代入M（1，2）得p=2，C₁方程y²=4x（2分）
椭圆C₂和双曲线C₃焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），c=1
对于椭圆C₂：2a=|MF1|+|MF2|=2+2

2

，a=1+

2

，b2=2+2

2

，
得C₂方程：

x2

3+2 2

+

y2

2+2 2

=1（4分）
对于双曲线C₃：2a=||MF1|-|MF2||=2

2

-2，a=

2

-1，b2=2

2

-2，
得C₃方程：

x2

3-2 2

-

y2

2 2 -2

=1（6分）
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），以AP为直径的圆的圆心为(

x1+3

2

，

y1

2

)，
设存在符合条件的直线l′：x=n，圆心到l′的距离为d=|

x1+3

2

-n|，
所以l′被以AP为直径的圆截得的弦长为2

( 1 2 |AP|)2-( x1+3 2 -n)2

=2

1 4 ((x1-3)2+y12)-( x1+3 2 -n)2

=2

-2x1+n(x1+3)-n2

=2

(n-2)x1+3n-n2

，（10分）
当n=2时，即l′方程x=2，弦长为定值2

2

（12分）

点评：此题是个难题．本题考查了椭圆与双曲线抛物线的标准方程即简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题（2）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，