Question

【题目】已知函数， ，

（1）若，且在其定义域上存在单调递减区间，求实数的取值范围；

（2）设函数， ，若恒成立，求实数的取值范围；

（3）设函数的图象与函数的图象交于点、，过线段的中点作轴的垂线分别交， 于点、，证明： 在点处的切线与在点处的切线不平行.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析

【解析】分析：第一问将代入，求得的解析式，函数在定义域上存在单调递减区间，等价于导数有正解，结合二次函数图像求得结果，第二问恒成立转化为求函数最值来处理，第三问假设存在，最后推出矛盾，从而得结果.

详解：（1），

则

因为函数存在单调递减区间，所以有正解.

法1：因为开口向上的抛物线且过点

∴，∴，∴

法2： 有正解，∴，∴

（2）

∴ .

令， ，于是

当时， ， 在区间是减函数，

当时， ， 在区间是增函数.

所以在时取得最小值， ，

因为恒成立，所以，

因，∴，∴，

令，易知关于在上单调递增，又 ，∴.

（3）证法一.设点、的坐标分别是， ，不妨设.

则点、的横坐标为，

在点处的切线斜率为

在点处的切线斜率为.

假设在点处的切线与在点处的切线平行，则.

即，则

所以.设，则， .①

令， .则.

因为时， ，所以在上单调递增，故.

则.这与①矛盾，假设不成立.

故在点处的切线与在点处的切线不平行.

证法二：同证法一得.

因为，所以.

令，得， .②

令， ，则.

因为，所以时， .

故在上单调递增，从而，即.

于是在上单调递增.

故，即.这与②矛盾，假设不成立.

故点在点处的切线与在点处的切线不平行.