Question

 

（1）已知动点到点的距离是它到点的距离的一半．求动点的轨迹方程；

（2）若A、B是圆C：上的两个动点，点P（4，0），满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （1）设动点M为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合

          P ．由两点距离公式，点M适合的条件可表示为 ，平方后再整理，得．可以验证，这就是动点M的轨迹方程．

解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR| 

又因为R是弦AB的中点，依垂径定理  在Rt△OAR中，|AR|²=|AO|²－|OR|²=36－(x²+y²)

又|AR|=|PR|=

所以有(x－4)²+y²=36－(x²+y²),即x²+y²－4x－10=0

因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动 

设Q(x,y)，R(x₁,y₁)，因为R是PQ的中点，所以x₁=,

代入方程x²+y²－4x－10=0,得－10=0

整理得  x²+y²=56,这就是所求的轨迹方程