Question

【题目】如图，在空间直角坐标系中，已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为6，正方形ABCD的中心为坐标原点O，AD，BC平行于x轴，AB、CD平行于y轴，顶点P在z轴的正半轴上，点M、N分别在PA，BD上，且.

（1）若，求直线MN与PC所成角的大小；

（2）若二面角A-PN-D的平面角的余弦值为，求λ的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

写出图中各点坐标，

（1）求出向量，，由向量夹角得出异面直线所成的角；

（2）求出平面和平面的法向量，由法向量夹角的余弦值的绝对值等于已知二面角的余弦值可求得．

依题意知，，，，.

设，.

由，知，，

即，

且，

所以，，，

，，，

从而，.

（1）若，则，，

所以，

所以.

又因，

所以，

故直线MN与PC所成角的大小为.

（2）连结AC，易知平面PBD.

而，

故平面PBD的一个法向量为.

设平面PAN的一个法向量为，

则.

又因为，

所以

不妨取，则，，

所以.

因为二面角A-PN-D的平面角的余弦值为.

所以

整理得，解得或.