Question

已知数列a₁=1，a₂=2，an+2=

5an+1-3an，an•an+1为偶数时 an+1-an，an•an+1为奇数时

．
（1）求a₃，a₄的值；
（2）证明：任意相邻三项不可能有两个偶数；
（3）若an=2n-1(n∈N+)，求n的值．

Answer 1

分析：（1）根据a₁=1，a₂=2，及数列递推式可求a₃，a₄的值；
（2）假设a_n，a_n+1，a_n+2中存在两项为偶数，不妨设a_n，a_n+1为偶数，由已知3a_n-1=5a_n-a_n+1或a_n-1=a_n-a_n+1，得a_n-1必为偶数，以此类推，可得a₁为偶数；同理若有不相邻两项为偶数，可得a₁为偶数，与已知条件矛盾；
（3）由n=1，2显然满足题意，再证：n≥3时，无满足题意的n即可．

解答：（1）解：∵a₁=1，a₂=2，∴a₃=5a₂-3a₁=7，a₄=5a₃-3a₂=29…（2分）
（2）证明：假设a_n，a_n+1，a_n+2中存在两项为偶数，若有相邻两项为偶数，不妨设a_n，a_n+1为偶数，
由已知3a_n-1=5a_n-a_n+1或a_n-1=a_n-a_n+1，得a_n-1必为偶数，
以此类推，可得a₁为偶数，与已知条件矛盾，…（5分）
若有不相邻两项为偶数，不妨设a_n，a_n+2为偶数，由已知5a_n+1=3a_n+a_n+2或a_n+1=a_n+a_n+2得a_n+1必为偶数，
以此类推，可得a₁为偶数，与已知条件矛盾，
故，任意相邻三项不可能有两个偶数…（8分）
（3）解：由n=1，2显然满足题意，…（10分）
下证：n≥3时，无满足题意的n，
设使得a_n是4的倍数的最小下标为m，则由（1）知m＞4，
由于a_m是偶数，由（2）知a_m-1，a_m-2为奇数，…（12分）
再由已知条件知a_m-3为偶数…（13分）
又a_m-1=5a_m-2+a_m-3或a_m=a_m-1+a_n-2得3a_m-3=4a_m-2-a_m，
从而a_m-3也为4的倍数，与假设矛盾，…（15分）
综上所述，当n≥3时，无满足题意的n使得an=2n-1，
故n=1，2，…（16分）

点评：本题考查数列递推式，考查学生分析解决问题的能力，考查反证法思想的运用，属于中档题．