Question

【题目】已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.

（1） 求椭圆的方程;

（2） 设直线与椭圆交于、两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

试题分析：可以巧用离心率，不妨设，由短轴的一个端点到右焦点的距离为，，则，所以椭圆C的方程为，第二步先设直线的方程为，联立方程组消去后得关于的一元二次方程，写出，写出弦长的表达式，又坐标原点O到Ｌ的距离的，得到一个和的等量关系，代入面积表达式后，借助均值不等式求出最大值即可.

试题解析：解：（1）设椭圆的半焦距为，依题意

，

所求椭圆方程为．

（2）设，．

①当轴时，为，代入．

得，

②当与轴不垂直时，设直线的方程为．

由已知，得

把代入椭圆方程，整理得，

，，．

当时，，

当时，

当且仅当，即时等号成立．

综上所述．

当最大时，面积取最大值．