Question

【题目】已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+2|.

（1）若a＝1.解不等式f（x）≤x2﹣1；

（2）若a＞0，b＞0，c＞0.且f（x）的最小值为4﹣b﹣c.求证：.

Answer 1

【答案】（1）{x|x≤﹣2或x≥1}（2）证明见解析

【解析】

（1）对绝对值函数进行分段讨论，解不等式即可；

（2）求出的最小值，得到，利用柯西不等式证明即可．

（1）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|x+2|，

当x≤﹣2时，﹣2x﹣1≤x2﹣1，得x2+2x≥0，所以x≤﹣2；

当﹣2＜x＜1时，3≤x2﹣1，得x2≥4，无解

当x≥1时，由2x+1≤x2﹣1，得x2﹣2x﹣2≥0，得x≥1，

综上，不等式的解集为{x|x≤﹣2或x≥1}；

（2）证明：

因为f（x）＝|x﹣a|+|x+2|≥|x﹣a﹣x﹣2|＝|a+2|＝a+2＝4﹣b﹣c，

得a+b+c＝2，

所以2，

当且仅当a+b＝c＝1时成立，

故原命题得证.