Question

【题目】如图，已知平面四边形中，为的中点，，，且.将此平面四边形沿折成直二面角，连接、、.

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）通过证明，可得平面，进而可证明平面平面；

（Ⅱ）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为以及，通过向量的夹角公式可得直线与平面所成角的正弦值.

解：（Ⅰ）因为，，

所以直二面角的平面角为，

则平面，又平面，

所以，

又，

则

即，而，平面，平面，

故平面，因为平面，

所以平面平面；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，，则以为原点建立空间直角坐标系如图所示，

则，，，，

，，设平面的法向量为，

则，

令，得平面的一个法向量，

又，

则得，

记直线与平面所成角为，则知，

故所求角的正弦值为.