Question

【题目】已知函数.

（1）证明：；

（2）若当恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1），得到，得到，整理得到，即，令，证明得到答案.

（2）当时，要证即证，令，证明在上是减函数，得当时，在上恒成立，再证明时，在上不恒成立，得到答案.

（1），当时，，，

在上是增函数，又，.

由整理得，即，

令，即，

在上是增函数，又，，，

，

综上，.

（2）当时，要证，

即证，

只需证明.

由（1）可知：当时，，

即，

，

令，则，

令，则，

当时，，在上是减函数，

故当时，，在上是减函数，

，，

故当时，在上恒成立.

当时，由（1）可知：，即，

，

令，则，

当时，，在上是减函数，

在上的值域为.

，，存在，使得，此时

故时，在上不恒成立.

综上，实数的取值范围是.