Question

【题目】设函数

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）令，其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围.

（3）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 的单调增区间为，减区间为；（2）；(3) .

【解析】试题分析：（1）先求导数然后在函数的定义域内解不等式和的区间为单调增区间， 的区间为单调减区间；（2）先构造函数再由以其图象上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，知导函数恒成立，再转化为求解；（3）先把握有唯一实数解，转化为有唯一实数解，再利用单调函数求解.

试题解析：（1）依题意，知的定义域为，

当时， ，

令，解得或（舍去），

当时， ；当时， ，

所以的单调增区间为，减区间为.

（2）由题意知，则有在（0,3）上恒成立，所以，当x0=1时， 取得最大值，

所以

（3）当时， ，

由，得，又，所以，

要使方程在区间上有唯一实数解，

只需有唯一实数解

令，∴，由得； ，得，

∴在区间上是增函数，在区间上是减函数.

，故 .

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究方程的根、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数的单调性的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间.