【题目】政府为了稳定房价，决定建造批保障房供给社会，计划用
万的价格购得一块建房用地，在该土地上建
幢楼房供使用，每幢楼的楼层数相同且每层建套每套
平方米，经测算第
层每平方米的建筑造价
(元)与满足关系式
(其中
为整数且被整除) ，根据某工程师的个人测算可知，该小区只有每幢建
层时每平方米平均综合费用才达到最低，其中每平方米
.
(1)求的值；
(2)为使该小区平均每平方米的平均综合费用控制在
元以内，每幢至少建几层?至多造几层?
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【题目】如图，在棱长为
的正方形
中，
、
分别为
，
边上的中点，现将点
以
为轴旋转至点
的位置，使得
为直二面角．
（1）证明：
；
（2）求异面直线
与
所成角的余弦值．
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【题目】已知函数
（
为自然对数的底数），
为
的导函数，且
.
（1）求实数
的值；
（2）若函数在
处的切线经过点
，求函数的极值；
（3）若关于
的不等式
对于任意的
恒成立，求实数
的取值范围.
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【题目】某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，现从高一学生中抽取
人做调查，得到
列联表：
喜欢游泳 | 不喜欢游泳 | 合计 | |
男生 | 40 | ||
女生 | 30 | ||
合计 | 100 |
且已知在个人中随机抽取
人，抽到喜欢游泳的学生的概率为
.
（1）请完成上面的列联表；
（2）根据列联表的数据，是否有
的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由.
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【题目】现有4名同学去参加校学生会活动，共有甲、乙两类活动可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪类活动，掷出点数为1或2的人去参加甲类活动，掷出点数大于2的人去参加乙类活动.
（1）求这4个人中恰有2人去参加甲类活动的概率；
（2）用
，
分别表示这4个人中去参加甲、乙两类活动的人数.记
，求随机变量
的分布列与数学期望
.
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【题目】某工厂生产某款机器零件，因为要求精度比较高，所以需要对生产的一大批零件进行质量检测.首先由专家根据各种系数制定了质量指标值，从生产的大批零件中选取100件作为样本进行评估，根据评估结果作出如图所示的频率分布直方图.
（1）（ⅰ）根据直方图求
及这100个零件的样本平均数
（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；
（ⅱ）以样本估计总体，经过专家研究，零件的质量指标值
，试估计10000件零件质量指标值在
内的件数；
（2）设每个零件利润为
元，质量指标值为
，利润与质量指标值之间满足函数关系
.假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试估算该批零件的平均利润.（结果四舍五入，保留整数）
参考数据：
，则
，
，
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【题目】等差数列
中，
，且
，
，
成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）记
为数列的前
项和，是否存在正整数，使得
？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
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【题目】在某外国语学校举行的
(高中生数学建模大赛)中,参与大赛的女生与男生人数之比为
,且成绩分布在
,分数在
以上(含)的同学获奖．按女生、男生用分层抽样的方法抽取
人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示．
(Ⅰ)求
的值,并计算所抽取样本的平均值
(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(Ⅱ)填写下面的
列联表,并判断在犯错误的概率不超过
的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”．
女生 | 男生 | 总计 | |
获奖 |
| ||
不获奖 | |||
总计 |
| ||
附表及公式：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
其中
,
．
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