Question

【题目】等差数列中，，且，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）当时，不存在满足题意的正整数；当时，存在满足题意的正整数，其最小值为21．

【解析】

（1）将已知条件转化为的形式，并利用等比中项的性质列方程，解方程求得，进而求得数列的通项公式；

（2）根据（1）中求得数列的通项公式进行分类讨论，求得相应的表达式，解不等式，由此求得的最小值.

（1）设数列的公差为，依题意得，4，，成等比数列，

故有，化简得，解得或．

当时，；当时，．

从而得数列的通项公式为或．

（2）当时，，显然，此时不存在正整数，使得成立．

当时，．令，即，

解得或（舍去），此时存在正整数，使得成立，的最小值为21．

综上，当时，不存在满足题意的正整数；当时，存在满足题意的正整数，其最小值为21．