Question

【题目】如图，四棱锥 底面 为菱形，平面 平面 , , , , 为 的中点.

（1）证明： ；
（2）二面角 的余弦值.

Answer 1

【答案】
（1）解：取 的中点 ，连接 为菱形， ，
分别为 的中点， .
为 的中点， ，
又 面 面 ，
面 面 面 ，
，
面

（2）解：连接 为菱形，
为等边三角形， 为 的中点， ，
面 两两垂直.
以 分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直接坐标系 ，则 为面 的法向量，
设面 的法向量 ，
则 即 ，取 ，则 ， ，
，
结合图形可知二面角 的余弦值为
【解析】（1）根据题目中所给的条件的特点，取AD的中点O，连接OP，OE，BD，由已知可得BD⊥AC，又O、E分别为AD，AB的中点，可得OE∥BD，得到AC⊥OE．再由PA=PD，O为AD的中点，得到PO⊥AD，结合面面垂直的性质可得PO⊥AC，再由线面垂直的判定可得AC⊥面POE，从而得到AC⊥PE；
（2）用空间向量求平面间的夹角. 以OA、OB、OP分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直接坐标系O-xyz，得到A，B，P的坐标，可得平面PAD的一个法向量，再求得面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角D-PA-B的余弦值．训练了利用空间向量求解二面角的平面角．