Question

【题目】已知函数为常数．

（Ⅰ）若是函数的一个极值点，求此时函数的单调区间；

（Ⅱ）若对任意的，，不等式恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）单调递增区间是，，单调递减区间是； （2）.

【解析】

（1）求导后根据得到，于是，令可得增区间，令可得减区间．（2）由题意得到，故问题等价于：对于任意的，不等式恒成立，即恒成立．设，，求出函数的值域后可得所求范围．

∵，

∴．

（1）∵是函数的一个极值点，

∴，

∴，

∴，

令，解得或；

令解得，

∴函数的单调递增区间是，，单调递减区间是．

（2）∵，

∴，当且仅当时等号成立．

∴当时，在上恒成立，

∴在上单调递增，

∴．

故问题等价于：对于任意的，不等式恒成立，即恒成立．

设，，则，

令，则，

∴在上递减，

∴，

故，

∴在上单调递减，

∴，

∴，

∴实数的取值范围为．