Question

【题目】已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于两点，若，，成等差数列，且，则该双曲线的离心率为（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

由双曲线的性质可得：|AF|＝b，|OA|＝a，∴tan∠AOF＝，∴tan∠AOB＝tan2∠AOF＝，在直角三角形OAB中求出|AB|和|OB|，再根据等差中项列等式可得 a＝2b，可得离心率．

由双曲线的性质可得：|AF|＝b，|OA|＝a，tan∠AOF＝，

∴tan∠AOB＝tan2∠AOF＝

在Rt△OAB中，tan∠AOB＝

∴|OB|＝，又|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，∴2|AB|＝|OA|+|OB|，

∴，化简得：2a2﹣3ab﹣2b2＝0，即（2a+b）（a﹣2b）＝0，

∴a﹣2b＝0，即a＝2b，∴a2＝4b2＝4（c2﹣a2），5a2＝4c2，∴e2＝．

故选：A．