Question

【题目】已知椭圆：的长轴长为，右顶点到左焦点的距离为，直线l：与椭圆交于A，B两点．

求椭圆的方程；

若A为椭圆的上项点，M为AB中点，O为坐标原点，连接OM并延长交椭圆于N，，求k的值．

若原点O到直线l的距离为1，，当时，求的面积S的范围．

Answer 1

【答案】（1）； （2）； （3）.

【解析】

先根据已知条件可求出a、c的值，结合a、b、c的值可得出b的值，进而可求出椭圆的标准方程；

先得出直线l的方程为，将直线l的方程代入椭圆方程可求出点B的坐标，利用中点坐标公式可得出点M的坐标，根据已知条件可得出点N的坐标，再将点N的坐标代入椭圆的方程，即可求出k的值；

利用原点O到直线l的距离可得出，将直线l的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，将韦达定理代入，结合的取值范围可得出的取值范围，并求出线段AB的长度的表达式，可求出的取值范围，再利用三角形的面积公式可求出S的取值范围．

由题意可知，，于是得到，

因为右顶点到左焦点的距离为，所以，，则，

因此，椭圆的方程为；

当点A为椭圆的上顶点时，点A的坐标为，则，直线l的方程为，

将直线l的方程代入椭圆的方程并化简得，解得，，

所以点B的坐标为，

由于点M为线段AB的中点，则点M的坐标为，

由于，所以，点N的坐标为，

将点N的坐标代入椭圆的方程得，化简得，解得；

由于点O到直线l的距离为1，则有，所以，．

设点、，将直线l的方程代入椭圆方程并化简得，

由韦达定理可得，，

，

由于，即，解得，

线段AB的长为

，

所以，．

因此，的面积S的取值范围是．