Question

【题目】如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形,则棱SB垂直于底面.

(1)求证：平面SBD⊥平面SAC；

(2)若SA与平面SCD所成角的正弦值为,求SB的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) 2或．

【解析】

(1)连结AC,BD,证明AC⊥BD,AC⊥SB,得出AC⊥面SBD,即可证明平面SAC⊥平面SBD；

(2)将四棱锥补成正四棱柱ABCD-A′SC′D′,连结A′D,作AE⊥A′D于E,连结SE,

证明AE⊥面SCD,得出∠ASE为SA与平面SCD所成角的平面角,利用直角三角形的边角关系求出SB的长．

(1)证明：连结AC,BD,如图所示；

∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,

∵SB⊥底面ABCD,∴AC⊥SB,

∴AC⊥面SBD,

又由AC面SAC,∴面SAC⊥面SBD．

(2)解：将四棱锥补成正四棱柱ABCD-A′SC′D′,

连结A′D,作AE⊥A′D于E,连结SE，如图所示；

由SA′∥CD,知平面SCD即为平面SCDA′,

∵CD⊥侧面ADD′A′,∴CD⊥AE,

又AE⊥A′D,∴AE⊥面SCD,

∴∠ASE即为SA与平面SCD所成角的平面角,

设SB=x,

在直角△ABS中,由勾股定理得SA=；

在直角△SAE中,=，得AE=；

在直角△DAA′中，A′DAE=ADAA′,

即=1x；

解得x=2或x=；

∴SB的长为2或．