Question

【题目】已知直线，若存在实数使得一条曲线与直线有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于，则称此曲线为直线的“绝对曲线”，下面给出四条曲线方程：

①，

②，

③，

④，

其中，直线的绝对曲线有______.（填序号）

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

易知，直线恒过定点，又的图像是以为端点的两条射线组成的折线，直线与曲线①至多有一个交点，故曲线①不是直线的绝对曲线，

由在抛物线上，设直线与曲线②的另一个交点为，，

则，若，

则 ，

设，则，，

由函数在上的连续性，知方程在区间上有实数根，

即存在使得，故曲线②为直线的绝对曲线，

因为直线被曲线③截得的弦（即圆的直径）长恒为2，取，

所以，.故曲线③也为直线的绝对曲线，

易知，定点也在曲线④上，且当时，直线被曲线④截得的弦长，

当由0逐渐变少到时（此时，由0逐渐变大到），

由图像易知弦长先由2逐渐变少到0，再由0逐渐变大到2，

可知，存在实数，，使得，故曲线④也是直线的绝对曲线.

综上，知直线的绝对曲线有②③④.