Question

【题目】已知顶点为原点的抛物线，焦点在轴上，直线与抛物线交于、两点，且线段的中点为．

（1）求抛物线的标准方程．

（2）若直线与抛物线交于异于原点的、两点，交轴的正半轴于点，且有，直线，且和有且只有一个公共点，请问直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，直线过定点.

【解析】

（1）设抛物线的标准方程为，求出点的坐标，将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，由此可求得抛物线的标准方程；

（2）设点，，，由条件可得出，可求出直线的斜率，由此可设直线的方程为，与抛物线的方程联立，由可得出，分与两种情况讨论，求出直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标.

（1）由题意设抛物线的标准方程为，

因为的中点为，所以的坐标为，

将点的坐标代入抛物线的方程，得，可得，

因此，抛物线的标准方程为；

（2）由（1）知，设，，

因为，则，

由，可得，即，所以，直线的斜率，

因为直线，设直线的方程为，

代入抛物线的方程可得，

因为且和有且只有一个公共点，可得，解得，

设，则，，即，

当时，，

可得直线的方程为，

由时，代入整理，即直线恒过定点；

当，直线的方程为，过点，

综上，可知直线过定点．