Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面平面，，，，且.

（1）过作截面与线段交于点H，使得平面，试确定点H的位置，并给出证明；

（2）在（1）的条件下，若二面角的大小为，试求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）H为线段上靠近点P的五等分点，即，证明见解析；（2）

【解析】

（1）连接交于点．证明，即可证明平面．

（2）以，为x，y轴的正方向，过点D作平面的垂线为z轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量的数量积求解直线与平面所成角的正弦值即可．

（1）如图，连接交于点E，

由，易知相似于.

∴，

又平面，平面平面，

∴，

∴，即H为线段上靠近点P的五等分点，即.

（2）由，相似于，可得，

∵平面平面，且平面平面，∴平面，

∴为二面角的平面角，∵，∴，

又，∴，，

又易知，∴平面，即是平面的法向量，

如图，以，为x，y轴的正方向，过点D作平面的垂线为z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，∴，，

∴，直线与平面所成角的正弦值为.