Question

【题目】设、为抛物线上的两点，与的中点的纵坐标为4，直线的斜率为.

（1）求抛物线的方程；

（2）已知点，、为抛物线（除原点外）上的不同两点，直线、的斜率分别为，，且满足，记抛物线在、处的切线交于点，若点、的中点的纵坐标为8，求点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据题意运用“点差法”求得p，得出抛物线方程；

（2）据题意设，，，根据题意，以及、的中点的纵坐标为8求出A、B两点的坐标，再设出PA、PB的直线，联立方程求得PA、PB直线方程，求出S坐标.

解：（1）设，.

直线的斜率为，

又、都在抛物线上，

所以，.

由两式相减得，

两边同除以，且由已知得，.

可得，即.

所以抛物线的方程为.

（2）设，，.

因为

所以，所以，

线段的中点的纵坐标为8，

，

联立解得，

所以，.

设直线的斜率为，则直线，

由消得.

由，得，即.

所以直线，

同理得直线.

联立以上两个方程解得

所以.