[题目]已知:①函数,②向量..且.,③函数的图象经过点请在上述三个条件中任选一个.补充在下面问题中.并解答.已知 .且函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为.(1)若.且.求的值,(2)求函数在上的单调递减区间.注:如果选择多个条件分别解答.按第一个解答计分. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知：①函数；

②向量，，且，；

③函数的图象经过点

请在上述三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

已知_________________，且函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为.

（1）若，且，求的值；

（2）求函数在上的单调递减区间.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】答案不唯一

【解析】

（1）选择一个条件，转化条件得，由题意可得，代入即可得解；

（2）令，解得的取值范围后给赋值即可得解.

方案一：选条件①

因为

，

又，所以，所以.

方案二：选条件②

因为，，

所以.

又，所以，所以.

方案三：选条件③

由题意可知，，所以，所以.

又因为函数图象经过点，所以.

因为，所以，所以.

（1）因为，，所以 .

所以.

（2）由，

得，

令，得，令，得，

所以函数在上的单调递减区间为，.

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【答案】

【解析】

根据双曲线的通径求得点的坐标，将三角形为锐角三角形，转化为，即，将表达式转化为含有离心率的不等式，解不等式求得离心率的取值范围.

根据双曲线的通径可知，由于三角形为锐角三角形，结合双曲线的对称性可知，故，即，即，解得，故离心率的取值范围是.

【点睛】

本小题主要考查双曲线的离心率的取值范围的求法，考查双曲线的通径，考查双曲线的对称性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.本小题的主要突破口在将三角形为锐角三角形，转化为，利用列不等式，再将不等式转化为只含离心率的表达式，解不等式求得双曲线离心率的取值范围.

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17

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【题目】（本小题满分12分）

已知抛物线C的方程C：y2="2" p x（p＞0）过点A（1，-2）.

（I）求抛物线C的方程，并求其准线方程；

（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。

【答案】（I）抛物线C的方程为，其准线方程为（II）符合题意的直线l 存在，其方程为2x+y-1 =0.

【解析】

试题（Ⅰ）求抛物线标准方程，一般利用待定系数法，只需一个独立条件确定p的值：（－2）2＝2p·1，所以p＝2．再由抛物线方程确定其准线方程：，（Ⅱ）由题意设：，先由直线OA与的距离等于根据两条平行线距离公式得：解得，再根据直线与抛物线C有公共点确定

试题解析：解（1）将（1，－2）代入y2＝2px，得（－2）2＝2p·1，

所以p＝2．

故所求的抛物线C的方程为

其准线方程为．

（2）假设存在符合题意的直线，

其方程为．

由得．

因为直线与抛物线C有公共点，

所以Δ＝4＋8t≥0，解得．

另一方面，由直线OA到的距离

可得，解得．

因为－1[－，＋∞），1∈[－，＋∞），

所以符合题意的直线存在，其方程为．

考点：抛物线方程，直线与抛物线位置关系

【名师点睛】求抛物线的标准方程的方法及流程

（1）方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．

（2）流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．

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