【题目】如图,等腰梯形中, , 于点, ,且.沿把折起到的位置,使.
()求证: 平面.
()求三棱柱的体积.
()线段上是否存在点,使得平面.若存在,指出点的位置并证明;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析.
【解析】试题分析:(1)由, 可得平面,进而得,在等腰梯形中,可证得,从而得证;
(2)由即可得解;
(3)取的中点, 的中点,连结, , ,可证得四边形为平行四边形,从而得证,进而得证.
试题解析:
()证明:∵,∴.
∵在等腰梯形中, ,
∴在四棱锥中, .
又,∴平面.
又∵平面,∴.
∵在等腰梯形中, , ,且,
∴, , ,
∴,
∴.
∵,
∴平面.
()∵, 平面,
∴.
()线段上存在一点,使得平面, 为的中点,
证明:取的中点, 的中点,连结, , .
∵, 分别为, 的中点,
∴且.
∵且,
∴且,
∴且,
∴四边形为平行四边形,
∴.
又∵平面, 平面,
∴平面.
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【题目】a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:
①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;
②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;
③直线AB与a所成角的最小值为45°;
④直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是________.(填写所有正确结论的编号)
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【题目】某市每年春节前后,由于大量的烟花炮竹的燃放,空气污染较为严重.该市环保研究所对近年春节前后每天的空气污染情况调查研究后发现,每天空气污染的指数.f(t),随时刻t(时)变化的规律满足表达式,其中a为空气治理调节参数,且a∈(0,1).
(1)令,求x的取值范围;
(2)若规定每天中f(t)的最大值作为当天的空气污染指数,要使该市每天的空气污染指数不超过5,试求调节参数a的取值范围.
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【题目】已知椭圆: 的右顶点、上顶点分别为、,坐标原点到直线的距离为,且,则椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
写出直线的方程,利用原点到直线的距离,以及列方程组,解方程组求得的值,进而求得椭圆的方程.
椭圆右顶点坐标为,上顶点坐标为,故直线的方程为,即,依题意原点到直线的距离为,且,由此解得,故椭圆的方程为,故选D.
【点睛】
本小题主要考查过两点的直线方程,考查点到直线的距离公式,考查椭圆标准方程的求法,考查了方程的思想.属于中档题.
【题型】单选题
【结束】
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【题目】若实数,满足,则的最小值是( )
A. 0 B. C. -6 D. -3
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【题目】设是双曲线:的右焦点,是左支上的点,已知,则周长的最小值是_______.
【答案】
【解析】
设左焦点为,利用双曲线的定义,得到当三点共线时,三角形的周长取得最小值,并求得最小的周长.
设左焦点为,根据双曲线的定义可知,所以三角形的周长为,当三点共线时,取得最小值,三角形的周长取得最小值. ,故三角形周长的最小值为.
【点睛】
本小题主要考查双曲线的定义,考查三角形周长最小值的求法,属于中档题.
【题型】填空题
【结束】
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【题目】已知分别是双曲线的左、右焦点,过点作垂直与轴的直线交双曲线于,两点,若为锐角三角形,则双曲线的离心率的取值范围是_______.
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【题目】已知:①函数;
②向量,,且,;
③函数的图象经过点
请在上述三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.
已知_________________,且函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)若,且,求的值;
(2)求函数在上的单调递减区间.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
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【题目】某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查,瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力。某班学生共有40人,下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果。例如表中听觉记忆能力为中等,且视觉记忆能力偏高的学生为3人。
视觉 听觉 | 视觉记忆能力 | ||||
偏低 | 中等 | 偏高 | 超常 | ||
听觉 记忆 能力 | 偏低 | 0 | 7 | 5 | 1 |
中等 | 1 | 8 | 3 | b | |
偏高 | 2 | a | 0 | 1 | |
超常 | 0 | 2 | 1 | 1 |
由于部分数据丢失,只知道从这40位学生中随机抽取一个,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为。
(1)试确定a,b的值;
(2)从40人中任意抽取3人,设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为X,求随机变量X的分布列。
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