Question

（2013•闸北区二模）某粮仓是如图所示的多面体，多面体的棱称为粮仓的“梁”．现测得底面ABCD是矩形，AB=16米，AD=4米，腰梁AE、BF、CF、DE分别与相交的底梁所成角均为60°．
（1）请指出所有互为异面的且相互垂直的“梁”，并说明理由；
（2）若不计粮仓表面的厚度，该粮仓可储存多少立方米粮食？

Answer 1

分析：（1）利用平行线的性质、异面直线所成的角、平行四边形的判定和性质即可得出；
（2）利用线面与面面垂直的判定和性质定理及四棱锥和直棱锥的条件计算公式即可得出．

解答：解：（1）EF与AD，EF与BC，DE与BF，AE与CF，
由已知EF∥AB，
∵AB⊥AD，∴EF⊥AD．
同理，有EF⊥BC．
过点E作EK∥FB交AB点K，则∠DEK为异面直线DE与FB所成的角，
∵DE=FB=4，AK=2×（4cos60°）=4，DK=4

2

，
∴∠DEK=90°，即DE⊥BF，
同理AE⊥CF．
（2）过点E分别作EM⊥AB于点M，EN⊥CD于点N，连接MN，则AB⊥平面EMN，
∴平面ABCD⊥平面EMN，
过点E作EO⊥MN于点O，则EO⊥平面ABCD
由题意知，AE=DE=AD=4，AM=DN=4cos60°=2，EM=EN=2

3

，
∴O为MN中点，
∴EO=2

2

即四棱锥E-AMND的高，
同理，再过点F作FP⊥AB于点P，ENFQ⊥CD于点Q，连接PQ，
原多面体被分割为两个全等的四棱锥和一个直棱柱，且MP=16-2-2=12，
∴V多面体=2V四棱锥+V直棱柱=2×

1

3

×(2×4)×2

2

+(

1

2

×4×2

2

)×12=

176 2

3

，
答：该粮仓可储存

176 2

3

立方米的粮食．

点评：熟练掌握平行线的性质、异面直线所成的角、平行四边形的判定和性质、线面与面面垂直的判定和性质定理及四棱锥和直棱锥的条件计算公式是解题的关键．