Question

【题目】已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：
①f（0）=f（1）=0；
②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）﹣f（y）|＜ |x﹣y|．
若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，则m的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】解：依题意，定义在[0，1]上的函数y=f（x）的斜率|k|＜ ，
依题意可设k＞0，构造函数f（x）= （0＜k＜ ），满足f（0）=f（1）=0，|f（x）﹣f（y）|＜ |x﹣y|．
当x∈[0， ]，且y∈[0， ]时，|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣ky|=k|x﹣y|≤k| ﹣0|=k× ＜ ；
当x∈[0， ]，且y∈[ ，1]，|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣（k﹣ky）|=|k（x+y）﹣k|≤|k（1+ ）﹣k|= ＜ ；
当y∈[0， ]，且x∈[ ，1]时，同理可得，|f（x）﹣f（y）|＜ ；
当x∈[ ，1]，且y∈[ ，1]时，|f（x）﹣f（y）|=|（k﹣kx）﹣（k﹣ky）|=k|x﹣y|≤k×（1﹣ ）= ＜ ；
综上所述，对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜ ，
∵对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，
∴m≥ ，即m的最小值为 ．
故选：B．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用绝对值不等式的解法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．