Question

【题目】如图1，在等腰直角三角形中，，，分别是上的点，，为的中点将沿折起，得到如图2所示的四棱椎，其中．

证明：平面；

求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析 （2）

【解析】

试题（1）F为ED的中点，连接OF,A’F，根据已知计算出的长度，满足勾股定理，, A’F为等腰△A’DE底边的中线，,,证得线面垂直，线线垂直，再线面垂直;(2)过点O作的延长线于，连接．利用（1）可知：平面，根据三垂线定理得，所以为二面角的平面角．在直角中，求出即可；

试题解析：

证明: (1)设F为ED的中点，连接OF,A’F,计算得A’F=2，OF=1

∵A’F为等腰△A’DE底边的中线，∴A’F⊥DE

∵OF在原等腰△ABC底边BC的高线上，

∴OF⊥DE

又∵A’F，OF平面A’OF, A’FOF=F,

∴DE⊥平面A’OF

∵A’O平面A’OF, ∴DE⊥A’O

在△A’FO中，A’+=3+1=,∴A’O⊥OF

∵OFDE=F,OF平面BCDE,DE平面BCDE, ∴A’O⊥平面BCDE 6分

(2)：如答图1，过O作CD的垂线交CD的延长线于M，连接A’M

∵A’O⊥平面BCDE,CD平面BCDE, ∴CD⊥A’O ∵OMA’O="O," ∴CD⊥平面A’OM

∵A’M平面A’OM∴CD⊥A’M ∴∠A’MO为所求二面角的平面角

在Rt△OMC中，OM==, A’O=于是在Rt△A’OM中，A’M=∴∠A’OM=13分