Question

（本题满分12分）

已知函数（）．

   （1）当时，求函数在上的最大值和最小值；

   （2）当函数在单调时，求的取值范围；

   （3）求函数既有极大值又有极小值的充要条件。

Answer 1

2, 2-ln2 , ,

解析:

（1）时，，

函数在区间仅有极大值点，故这个极大值点也是最大值点，

故函数在最大值是，

又，故，

故函数在上的最小值为。（4分）

  （2），令，则，

则函数在递减，在递增，由，，

，故函数在的值域为。

若在恒成立，即在恒成立，

只要，若要在在恒成立，即在恒成立，

只要。即的取值范围是。（8分）

   （3）若既有极大值又有极小值，则首先必须有两个不同正根，

即 有两个不同正根。

故应满足，∴当时，

有两个不等的正根，不妨设，

由知：时，时，时，

∴当时既有极大值又有极小值．

反之，当时，有两个不相等的正根，故函数既有极大值又有极小值的充要条件。   （12分）