Question

【题目】已知，.

（1）当时，求在的切线方程；

（2）若对任意时，恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）当时，利用的导数与直线的点斜式可求出在的切线方程.

（2）若对任意时，恒成立，转换成，；分类讨论和函数的最值，可求出的取值范围.

已知，.

（1）当时，，

所以，，

所以在的切线方程：

，

即.

（2）若对任意时，恒成立，则：，；

当时，，所以函数在上单调递增，

，（舍去）

当时，，所以函数在上单调递增；

，所以恒成立，所以；

当时，，解得：，

所以函数在上单调递减，

函数在上单调递增；

令，，

，

所以在上单调递减，函数在上单调递增；

；

所以；

所以函数在上单调递增；

，

，

时，；

时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

因为，

所以对于恒成立，

所以函数在上单调递增；

；

所以恒成立；

综上可得：