Question

（文科试题）已知抛物线y²=2px，O是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得△POF是直角三角形，则这样的点P共有

2

个．

Answer 1

分析：显然直角三角形△POF的直角顶点不可能是坐标原点O．当直角顶点在焦点F时，易得满足条件的P点有两个；接下来用数量积可证明

OP

•

FP

＞0，可得∠OPF是锐角，最后综上所述，得满足条件的点P只有两个．

解答：解：分3种情况加以讨论
①根据题意，显然∠POF不可能是直角，所以直角三角形△POF的直角顶点不可能是原点O，
②当∠PFO=90°时，即直角顶点在焦点F时，过点F作直线与x轴垂直，交于抛物线y²=2px于P点，这样满足条件的P点有两个；
③接下来证明∠OPF不可能是直角：
抛物线的焦点坐标为F（

p

2

，0），设抛物线上的点P坐标为（

y2

2p

，y），可得

OP

=（

y2

2p

，y），

FP

=（

y2

2p

-

p

2

，y）
∴

OP

•

FP

=

y2

2p

（

y2

2p

-

p

2

）+y²=

y4

4p2

+

3y2

4

∵

y4

4p2

＞0且

3y2

4

＞0
∴

OP

•

FP

=

|OP|

•

|FP|

cos∠OPF＞0，
∴cos∠OPF＞0，结合∠OPF∈（0，π），可得∠OPF是锐角．
综上所述，得满足条件的点P只有两个．
故答案为：2

点评：本题给出直角三角形的两个顶点在原点和抛物线的焦点，第三个点在抛物线上，求满足条件三角形的个数，着重考查了抛物线的基本性质和向量和数量积等知识，属于基础题．