Question

【题目】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cos（A﹣C）+cos2B=1+2cosAcosC．
（1）求证：a，b，c依次成等比数列；
（2）若b=2，求u=| |的最小值，并求u达到最小值时cosB的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵2cos（A﹣C）+cos2B=1+2cosAcosC，

∴2cosAcosC+2sinAsinC+1﹣2sin2B=1+2cosAcosC，

即2sinAsinC﹣2sin2B=0，

即sinAsinC=sin2B，

即ac=b2，

∴a，b，c依次成等比数列

（2）解：若b=2，则ac=4，

则u=| |=| |=|a﹣c|+| |≥2 ，

当且仅当|a﹣c|= 时，u=| |取最小值2 ，

此时cosB= = = ．

【解析】（1）将已知中2cos（A﹣C）+cos2B=1+2cosAcosC展开合并，再用正弦定理即可得到结论；（2）若b=2，则ac=4，利用基本不等式，可得当且仅当|a﹣c|= 时，u=| |取最小值2 ，再由余弦定理，可得cosB的值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用基本不等式在最值问题中的应用和正弦定理的定义的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”；正弦定理:．