Question

【题目】如图，已知多面体中，平面，平面，，，为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求多面体的体积；

（3）求平面和平面所成的锐二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）（3）．

【解析】

（1）取中点，根据已知，结合三角形中位线定理、平行四边形的判定定理和性质定理可以证明出，再根据线面垂直的性质、线面垂直的判定定理，结合等边三角形的性质进行证明即可；

（2）利用多面体的体积是两个三棱锥的体积之和，结合三棱锥的体积公式进行求解即可；

（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

（1）取中点，连接，

因此有且，

因为平面，平面，所以，由已知可知：，

所以且，

因此为平行四边形，∴，

因为平面，平面，所以，

因为，所以三角形是等边三角形，而是的中点，

所以，而，平面，

因此平面，∴平面；

（2）因为平面，平面，所以，

因此，因此有，

因为平面，平面，所以，

因此，

由平面，平面，所以，

因此，

由（1）知：，所以，连接，

；

（3）建立如下图的所示的空间直角坐标系，

,

设平面的法向量为：，

，

因此有，

平面的法向量为：,

设平面和平面所成的锐二面角的大小为，

则有.