Question

【题目】已知函数.

（1）若是函数的极值点，求a的值；

（2）令，若对任意，有恒成立，求a的取值范围；

（3）设m，n为实数，且，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析.

【解析】

（1）先求出，令后可得的值，注意检验.

（2）参变分离后可得对任意的恒成立，利用导数可得的最小值，从而可得的取值范围.

（3）原不等式等价于且，可通过构建新函数及，再利用导数可证当时，，从而可得原不等式成立.

（1），

因为是函数的极值点，故即，

又当时，，

当时，，当时，，

故是函数的极小值点，

综上，.

（2），故对任意的恒成立等价于：

对任意的恒成立.

令，，

则，

令，则，

当时，，故为上的单调增函数，

所以，

故时，，故为上的单调增函数，

所以，故.

（3）要证，因为，

故即证且，

即证且.

令，，则.

因为，，所以即，

所以为上的增函数，故当时，有.

令，则，故即.

令，，

则，故，

当时，，故为上的增函数，故当时，有，

所以为上的增函数，故当时，有，

令，则有，

也就是.

综上，原不等式恒成立.