Question

【题目】设函数，其中.

（1）讨论的单调性；

（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围；

（3）求证：对于任意，存在实数，当时，恒成立.

Answer 1

【答案】（1）在上为减函数，在上为增函数；（2）；（3）证明见解析

【解析】

（1）求出原函数的导函数．可得当时，，函数在上单调递减；当时，令求得值，把定义域分段，由导函数在不同区间段内的符号，可得原函数的单调性；

（2）由恒成立，通过分离参数法，转化成不等式恒成立，设，通过导函数求出的单调性，进而得出的最大值，即可求出a的取值范围；

（3）由（1）可知当时，在上为减函数，在上为增函数，再分类讨论：①当时，当时，，此时取；②当时，构造新函数，利用新函数的单调性，可得出时，，此时取，综合两种情况，即可证明出.

解：（1），，

①当时，恒成立，所以在上为减函数；

②当时，由，得，由，得；

由，得，

所以在上为减函数，在上为增函数.

（2）由得，，即不等式，恒成立，

记，则，由得，；

由得，；由得，.

所以在为增函数，在上为减函数，

所以，所以.

（3）证明：由（1）知，

当时，在上为减函数，在上为增函数.

①当，即时，因为在上为增函数，

又，所以，当时，，此时取.

②当，即时，

因为，所以，

，令，，则上式，

记，，则，

所以在上为增函数，所以，即，

因为在上为增函数，且，

所以当时，，此时取.

综上，对于任意，存在实数，当时，恒成立.