Question

【题目】已知函数，.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）单调递增区间为和，无单调递减区间；（2）.

【解析】

（1）化简，求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）设，则，对求导，分类讨论，分别判断的单调性，根据单调性求导的最值，验证是否合题意即可

（1）因为（且），所以.

设，则.

当时，，是增函数，，所以.

故在上为增函数；

当时，，是减函数，，所以，所以在上为增函数.

故的单调递增区间为和，无单调递减区间.

（2）设，则.

已知条件即为当时.

因为为增函数，所以当时，.

①当时，，当且仅当，且时等号成立.

所以在上为增函数.

因此，当时，.

所以满足题意.

②当时，由，得，解得.

因为，所，所以.

当时，，因此在上为减函数.

所以当时，，不合题意.

综上所述，实数的取值范围是.