Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC=2a，∠A=60°，E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使A′C=2a，F为线段A′C的中点．
（Ⅰ）求证：BF∥平面A′DE；
（Ⅱ）求证：平面A′DE⊥平面ABCD．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 取A′D的中点G，证明四边形BEGF为平行四边形，可得 BF∥EG，从而证明BF∥平面A′DE．
（Ⅱ） 取DE中点H，利用等边三角形的性质可得 A′H⊥DE，用勾股定理证明A′H⊥HC，从而 A′H⊥面ABCD，进而证明平面A′DE⊥平面ABCD．

解答：解：（Ⅰ）　取A′D的中点G，连接GF，GE，由条件易知：FG∥CD，FG=

1

2

CD，BE∥CD，BE=

1

2

 CD．
∴FG∥BE，FG=BE．∴四边形BEGF为平行四边形，∴BF∥EG，又BF?平面A′DE内，∴BF∥平面A′DE．
（Ⅱ）在平行四边形ABCD中，AB=2BC=2a，AE=EB=EA′=AD=DA′=a，取DE中点H，连接AH、CH，
∴A′H⊥DE，∵∠A=∠A′=60°，∴AH=A′H=

3

2

a，DH=

a

2

．
在△CHD中，CH²=DH²+DC²-2DH×DCcos60°=（

a

2

）²+（2a）²-2×

a

2

×2a×

1

2

=

13

4

a²．
在△CHA′中，∵CH²+A′H²=

13

4

a²+（

3

2

a）²=4a²=A′C²，∴A′H⊥HC，
又∵HC∩DE=H，∴A′H⊥面ABCD．   又∵A′H?平面A′DE，∴平面A′DE⊥平面ABCD．

点评：本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，取A′D的中点G，取DE中点H，是解题的关键．