Question

【题目】抛物线的焦点为，准线为，若为抛物线上第一象限的一动点，过作的垂线交准线于点，交抛物线于两点.

（Ⅰ）求证：直线与抛物线相切；

（Ⅱ）若点满足，求此时点的坐标.

Answer 1

【答案】（I）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）设，由此可得直线的斜率，进而得到直线的斜率，由此得到的方程为，令可得点的坐标，于是可得直线的斜率．然后再由导数的几何意义得到在点A处的切线的斜率，比较后可得结论．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立消元后得到二次方程，结合根与系数的关系及可求得点A的坐标．

（Ⅰ）由题意得焦点．设，

∴直线的斜率为，

由已知直线斜率存在，且直线的方程为，

令，得，

∴点的坐标为，

∴直线的斜率为．

由得，

∴，即抛物线在点A处的切线的斜率为，

∴直线与抛物线相切．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线的方程为，

由 消去整理得，

设，

则．

由题意得直线的斜率为 ，

直线的斜率为，

∵ ，

∴，

∴，

∴ ，

整理得，

解得或．

∵ ，

∴，

又，且，

∴存在，使得．