Question

已知长轴在x轴上的椭圆的离心率e=

1

2

，且过点(1，

3

2

)．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P是椭圆上任意一点，F₁、F₂是椭圆的左、右焦点，求PF₁•PF₂的最大值．

Answer 1

分析：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，由已知中椭圆的离心率和所过定点，可构造关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，可得椭圆的标准方程；
（2）由（1）可求出椭圆的左、右焦点坐标，进而根据三角形两边之和大于第三边和基本不等式，可得PF₁•PF₂的最大值

解答：解：（1）由题意，可设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
因为e=

1

2

，
所以

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

4

，
即

b2

a2

=

3

4

．…（4分）
又由椭圆过点(1，

3

2

)得：

1

a2

+

( 3 2 )2

a2

=1，即

1

a2

+

9

4b2

=1．
解得a²=4，b²=3，
所以椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（8分）
（2）由（1）得F₁（-1，0），F₂（1，0）．
因为PF₁+PF₂=2a=4，…（10分）
所以PF1•PF2≤(

PF1+PF2

2

)2=4，当且仅当PF₁=PF₂=2时等号成立，
所以（PF₁•PF₂）_max=4．…（15分）

点评：本题考查的知识点是椭圆的标准方程，基本不等式，椭圆的简单性质，难度不大，属于中档题．