Question

【题目】已知点的序列，其中.（是线段的中点，是线段的中点，……，是线段的中点，…）

（1）写出与之间的关系；

（2）设，计算，由此推测数列的通项公式，并且加以证明；

（3）求.

Answer 1

【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）.

【解析】

（1）根据中点坐标公式，求得与之间的关系.

（2）根据，猜想，然后利用数学归纳法进行证明.

（3）由（2）利用累加法求得的表达式并根据等比数列前项和公式求和，进而求得.

（1）依题意，点的序列，其中.（是线段的中点，是线段的中点，……，是线段的中点，…）.由中点坐标公式得：.

（2）.

猜想，.

用数学归纳法证明：

①当时，，等式成立.

②假设当时等式成立，即，

那么当时，

.

所以当时等式也成立，根据①和②，对，等式都成立.

（3）由与，得

，，，…，.

由于，以上各式相加，得.

而是以为公比的等比数列，.

.