Question

（2011•孝感模拟）如图，图形无限向内延续，最外面的正方形的边长等于1．从外到内，第i个正方形与其内切圆之间的深黑色图形面积记为S_i（i=1，2，…）．
则（1）S₂=

1

2

-

π

8

；
（2）深黑色图形的面积的总和S为

2-

π

2

．（以上结果不作近似计算）

Answer 1

分析：所有的正方形构成以1为首项，以

1

2

为公比的等比数列；所有的内切圆构成以

π

4

为首项，以

1

2

为公比的等比数列，故S_i构成以1-

π

4

为首项，以

1

2

为公比的等比数列，从而问题可解．

解答：解：由题意知，所有的正方形构成以1为首项，以

1

2

为公比的等比数列；
所有的内切圆构成以

π

4

为首项，以

1

2

为公比的等比数列，
∴S_i构成以1-

π

4

为首项，以

1

2

为公比的等比数列，
（1）S₂=

1

2

×（1-

π

4

）=

1

2

-

π

8

（2）深黑色图形的面积的总和为

(1- π 4 )[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

，当n→+∞时，S=2-

π

2

故答案为：

1

2

-

π

8

；2-

π

2

点评：本题以实际问题为载体，考查等比数列模型的确定，解题的关键是确定S_i构成以1-

π

4

为首项，以

1

2

为公比的等比数列